ある一定期間を$n$期に等分する。この一定期間内にある事象が起こる期待値が$\lambda$回だとすると，等分された各期に事象が起こる確率は$p=\lambda/n$だから，この事象の発生確率は，二項分布$B(n,\lambda/n)$に従い，この事象が$k$回起こる確率は，
$$P(X=k)=_nC_k\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$$
ここで，
$$P(X=k)=\frac{(n(n-1)(n-n)\cdots(n-k+1)}{k!}\frac{\lambda^k}{n^k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k},k=0,1,2,…$$
$$=\frac{\lambda^k}{k!}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}$$
となるので，期間の等分割を無限に小さくする（$n\to \infty$）と，
$$\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n=e^{-\lambda}$$
より，
$$\lim_{n\to\infty}P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$
期待値が3回のとき，期間の分割数を多くすると，だんだんポアッソン分布に近づいていく。
> d01<-rbinom(n=10000,size=10,p=.3) #10期間に分割 > mean(d01)
[1] 3.0096
> var(d01)
[1] 2.082316
> d01<-rbinom(n=10000,size=100,p=.03) #100期間に分割
> mean(d01)
[1] 2.9872
> var(d01)
[1] 2.809117
> d01<-rbinom(n=10000,size=1000,p=.003) #1000期間に分割
> mean(d01)
[1] 3.0089
> var(d01)
[1] 3.025523
> d01<-rbinom(n=10000,size=10000,p=.0003) #10000期間に分割
> mean(d01)
[1] 3.0437
> var(d01)
[1] 3.049095