直感的理解
成功確率が $p$ のとき、成功○が $k=3$ 回起こるまでに、失敗●が $x=5$ 回生じる確率を求める。
●○●●●○●○
最後の成功○が確率 $p$ で生じるとして、それまでの$x+k-1$ 回は、成功○ $k-1$ 回、失敗● $x$ 回の二項分布。
$$
f(x)= {x+k-1}C{x}(1-p)^xp^{k-1}\cdot p
$$
ガンマ関数を使うと、
$$
f(x)=\frac{(x+k-1)!}{x!(k-1)!}(1-p)^xp^k=\frac{\Gamma(x+k)}{\Gamma(x+1)\Gamma(k)}(1-p)^xp^k
$$
期待値
$$
E(x)=k\frac{1-p}{p}
$$
分散
$$
Var(x)=k\frac{1-p}{p^2}
$$
R
dnbinom(x, size, prob, mu, log = FALSE)
pnbinom(q, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qnbinom(p, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rnbinom(n, size, prob, mu)
ただし、size $=k$ , prob $=p$。
期待値をmuで与えることもできる。
mu $=k\cdot (1-p)/p$
> mean(rnbinom(10000,3,.5))
[1] 3.0077
> mean(rnbinom(10000,3,.2))
[1] 12.0547
> mean(rnbinom(10000,3,mu=12))
[1] 12.1535