直感的理解

成功確率が $p$ のとき、成功○が $k=3$ 回起こるまでに、失敗●が $x=5$ 回生じる確率を求める。

●○●●●○●○

最後の成功○が確率 $p$ で生じるとして、それまでの$x+k-1$ 回は、成功○ $k-1$ 回、失敗● $x$ 回の二項分布。

$$
f(x)=  {x+k-1}C{x}(1-p)^xp^{k-1}\cdot p
$$

ガンマ関数を使うと、

$$
f(x)=\frac{(x+k-1)!}{x!(k-1)!}(1-p)^xp^k=\frac{\Gamma(x+k)}{\Gamma(x+1)\Gamma(k)}(1-p)^xp^k
$$

期待値

$$
E(x)=k\frac{1-p}{p}
$$

分散

$$
Var(x)=k\frac{1-p}{p^2}
$$

R

dnbinom(x, size, prob, mu, log = FALSE)
pnbinom(q, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qnbinom(p, size, prob, mu, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rnbinom(n, size, prob, mu)

ただし、size $=k$ ,  prob $=p$。

期待値をmuで与えることもできる。
mu $=k\cdot (1-p)/p$ 

 > mean(rnbinom(10000,3,.5))
 [1] 3.0077
 > mean(rnbinom(10000,3,.2))
 [1] 12.0547
 > mean(rnbinom(10000,3,mu=12))
 [1] 12.1535