直感的理解

  • カウンターでコップになみなみお酒を入れてもらいました。これをこぼさないように運びます。
  • 指数分布は,カウンター($a$地点)からの距離$x$の地点までこぼさずに歩ける確率。
  • ただし,どの地点でこぼすかに差はない。
  • つまり,どの地点$x$でも次の$h$の距離の間にこぼす確率は$h/\lambda$で,$\lambda$は定数
  • 距離に関係なくランダムに邪魔が入る?
  • こうした確率は,次の指数分布となる。
    $$F(x)=1-e^{-\frac{x-a}{\lambda}}$$
    確率密度関数は
    $$f(x)=\frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x-a}{\lambda}}$$
  • じつは、この$\lambda$がこぼさずに行ける距離の期待値となる。
  • 以下、本質的に変わらないので、$a=0$で考える。

#指数分布はこんな感じ($\lambda=1,2,3,4,…$)

 plot(density(rexp(10000,1/1)),xlim=c(0,10),ylim=c(0,0.8))
 par(new=T)
 plot(density(rexp(10000,1/2)),xlim=c(0,10),ylim=c(0,0.8))
 par(new=T)
 plot(density(rexp(10000,1/3)),xlim=c(0,10),ylim=c(0,0.8))
 par(new=T)
 plot(density(rexp(10000,1/4)),xlim=c(0,10),ylim=c(0,0.8))

分布関数

任意の地点$x$から$h$の間にこぼす確率は

$$P[x\leq t \leq x+h|x\leq t]=\frac{h}{\lambda}$$
であらわされる。
$$\frac{F(x+h)-F(x)}{1-F(x)}=\frac{h}{\lambda}$$
$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\frac{1}{1-F(x)}=\frac{1}{\lambda}$$
$h\to 0$とすると,
$$\frac{F'(x)}{1-F(x)}=\frac{1}{\lambda}$$
積分して
$$\int\frac{F'(x)}{1-F(x)}dx=\int\frac{1}{\lambda}dx$$
$$-\ln(1-F(x))=\frac{x}{\lambda}+C$$
$$F(x)=1-e^{-\frac{x}{\lambda}-C}$$
$F(0)=0$なので,$e^{-C}=1$で,$C=0$。したがって
$$F(x)=1-e^{-\frac{x}{\lambda}}$$

平均と分散

平均

$$
\int_0^\infty xf(x)dx
=\int_0^\infty x\frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x}{\lambda}}dx
=\int_0^\infty e^{-\frac{x}{\lambda}}dx -[xe^{-\frac{x}{\lambda}}]_0^{\infty}
=\lambda
$$

ちなみに、$xe^{-x/3}$のグラフは・・・

分散

$$
\int_0^\infty (x-m)^2f(x)dx
=\int_0^\infty x^2\frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x}{\lambda}}dx-\lambda^2
=\int_0^\infty 2x e^{-\frac{x}{\lambda}}dx -[x^2e^{-\frac{x}{\lambda}}]_0^{\infty}-\lambda^2
=\lambda^2
$$

・・・ですが、積率母関数を使って計算したほうが簡単です。

> mean(rexp(10000,1/3))
[1] 3.008298
> var(rexp(10000,1/3))
[1] 9.096877