直感的理解
- カウンターでコップになみなみお酒を入れてもらいました。これをこぼさないように運びます。
- 指数分布は，カウンター（$a$地点）からの距離$x$の地点までこぼさずに歩ける確率。
- ただし，どの地点でこぼすかに差はない。
- つまり，どの地点$x$でも次の$h$の距離の間にこぼす確率は$h/\lambda$で，$\lambda$は定数
- 距離に関係なくランダムに邪魔が入る？
- こうした確率は，次の指数分布となる。 $$F(x)=1-e^{-\frac{x-a}{\lambda}}$$ 確率密度関数は $$f(x)=\frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x-a}{\lambda}}$$
- じつは、この$\lambda$がこぼさずに行ける距離の期待値となる。
- 以下、本質的に変わらないので、$a=0$で考える。
#指数分布はこんな感じ（$\lambda=1,2,3,4,…$）plot(density(rexp(10000,1/1)),xlim=c(0,10),ylim=c(0,0.8)) par(new=T) plot(density(rexp(10000,1/2)),xlim=c(0,10),ylim=c(0,0.8)) par(new=T) plot(density(rexp(10000,1/3)),xlim=c(0,10),ylim=c(0,0.8)) par(new=T) plot(density(rexp(10000,1/4)),xlim=c(0,10),ylim=c(0,0.8))
分布関数
任意の地点$x$から$h$の間にこぼす確率は
$$P[x\leq t \leq x+h|x\leq t]=\frac{h}{\lambda}$$ であらわされる。 $$\frac{F(x+h)-F(x)}{1-F(x)}=\frac{h}{\lambda}$$ $$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\frac{1}{1-F(x)}=\frac{1}{\lambda}$$ $h\to 0$とすると， $$\frac{F'(x)}{1-F(x)}=\frac{1}{\lambda}$$ 積分して $$\int\frac{F'(x)}{1-F(x)}dx=\int\frac{1}{\lambda}dx$$ $$-\ln(1-F(x))=\frac{x}{\lambda}+C$$ $$F(x)=1-e^{-\frac{x}{\lambda}-C}$$ $F(0)=0$なので，$e^{-C}=1$で，$C=0$。したがって $$F(x)=1-e^{-\frac{x}{\lambda}}$$
平均と分散
平均
$$ \int_0^\infty xf(x)dx =\int_0^\infty x\frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x}{\lambda}}dx =\int_0^\infty e^{-\frac{x}{\lambda}}dx -[xe^{-\frac{x}{\lambda}}]_0^{\infty} =\lambda $$
ちなみに、$xe^{-x/3}$のグラフは・・・
分散
$$ \int_0^\infty (x-m)^2f(x)dx =\int_0^\infty x^2\frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x}{\lambda}}dx-\lambda^2 =\int_0^\infty 2x e^{-\frac{x}{\lambda}}dx -[x^2e^{-\frac{x}{\lambda}}]_0^{\infty}-\lambda^2 =\lambda^2 $$
・・・ですが、積率母関数を使って計算したほうが簡単です。
> mean(rexp(10000,1/3)) [1] 3.008298 > var(rexp(10000,1/3)) [1] 9.096877