いよいよ統計的検定です。以下の例題を考えてみましょう。
遼くんが，ゴルフのショットで100m地点を狙うと，100mぴったりにはなかなか落とすことはできませんが，結構うまくて，100m地点を中心にばらついて落とすことができます。遼くんの1000回打った練習の記録を見てみると，きれいな正規分布であることがわかりました。この分布は，平均が100m，標準偏差は5mでした。以下の問を，1000個の乱数を発生させて確認しなさい。
- 1000回打った練習記録では，95mから105mまでの間に，何個落ちたことになっているでしょうか？（本来は２次元ですが，一直線上にばらつくと考えてください。）
- 90mから110mの間にボールは何個落ちたでしょうか？
- 85mから115mの間にボールは何個落ちたでしょうか？
- 一番短い飛距離から数えて5個めは何mの距離にあるでしょうか？
- 一番遠い飛距離から数えて5個めは何mの距離にあるでしょうか？
- 一番短い飛距離から数えて25個めは何mの距離にあるでしょうか？
- 一番遠い飛距離から数えて25個めは何mの距離にあるでしょうか？
- 一番短い飛距離から数えて50個めは何mの距離にあるでしょうか？
- 一番遠い飛距離から数えて50個めは何mの距離にあるでしょうか？
- 次の日，遼君が1個のボールを打ちましたが，この日は100mを狙っていたとは限りません。遼君が打った1個のボールが，何mから何mの間に落ちたら，遼君が100mを狙ったと思われるでしょうか？90％の確率で予想しなさい。ただし，標準偏差は前日と同じ5mです。
- この日，遼君が打ったボールが110mに落ちました。実は，遼君は100mを狙っていたのに，違うと言い張りました。遼君が100mを狙っていなかったと，うっかりだまされてしまう確率は何％残っていますか？
R Tips
order関数は，ベクトルを小さい順に並べ替えたベクトルの要素番号を返します。例えば，
> d01<-c(100,1,10,5)
> order(d01)
[1] 2 4 3 1
d01の要素は，小さい順に，2番目の要素(1)→4番目の要素(5)→3番目の要素(10)→1番目の要素(100)ということです。d01を小さい順に並べたい場合は，
> d01[c(2,4,3,1)]
ということなので，同じことですが，
> d01[order(d01)]
[1] 1 10 30 100
でできます。3番目に大きな数を探したいときは，
> d01[order(d01)][[3]]
[1] 30
でできます。
quantile関数は，ベクトルの小さい順から，指定した％の地点にある数を抜き出してくれます。
> quantile(1:1000,c(0.05,0.5,0.95))
5% 50% 95%
50.95 500.50 950.05
とすると，1,2,…,1000の数を連続変数と見立てた5%点，50％点，95％点を返す。離散変数をそのまま数えて，5%点，50％点，95％点を返すには，次のようにします。
> quantile(1:1000,c(0.05,0.5,0.95),type=1)
5% 50% 95%
50 500 950
統計のはなし
確率変数$X$が、正規分布$N(\mu_0,\sigma^2)$に従うとします。この場合、$X$は$\mu_0$を中心として、$\pm \sigma$の間に、約2/3（68.27％）が分布します。$\pm 2\sigma$の間に95.45％が分布します。同じく、$\pm 3\sigma$の間に99.73％が分布します。
$\mu_0-1.645\sigma$と$\mu_0+1.645\sigma$の間に90％の$X$が分布します。同様に、$\mu_0-1.960\sigma$と$\mu_0+1.960\sigma$の間に95％が分布し、$\mu_0-2.576\sigma$と$\mu_0+2.576\sigma$の間に99%が分布します。
今、確率変数$Y$の分散は、$X$と同じで、$\sigma^2$であることが分かっていたとします。このとき、$Y$の期待値$\mu_1$が$\mu_0$と同じであるかどうか、を統計的に検定します。もし、観察された1個の値$Y$が、$\mu_0-2.576\sigma$より小さいか、$\mu_0+2.576\sigma$より大きかったとしましょう。この時、２とおりの考え方ができます、$Y$の期待値$\mu_1$は$X$と同じ$\mu_0$だけれど、たまたま1％未満の珍しい値が得られた、という考え方。もうひとつは、$X$と同じ期待値と考えるのはちょっと無理がある、つまり$\mu_1\neq\mu_0$と考えることもできます。（$|\mu_1-\mu_0|>0$とも書ける。）後者の場合、それでもあと1％は$\mu_1=\mu_0$の可能性は残っているので、「有意水準1％未満で$|\mu_1-\mu_0|>0$」と判断します。$Y$が、$\mu_0-1.960\sigma$と$\mu_0+1.960\sigma$との区間の外側だったら、「有意水準5％未満で$|\mu_1-\mu_0|>0$」、$Y$が$\mu_0-1.645\sigma$と$\mu_0+1.645\sigma$との区間の外側だったら、、「有意水準10％未満で$|\mu_1-\mu_0|>0$」と判断します。これが統計的検定の基本的な考え方です。
